1
Easy2Siksha
GNDU -2023
( )
: : 75
: - ,
-
1. - ? ?
2.
?
-
3. Guass Siedel
4. :
x-y+z=3
2x+yz-2
x+2y-2z=-1
2
Easy2Siksha
-
5.
30-40:
()
15-20
20-30
30-40
45-55
5-70
73
97
110
183
140
6. () :
(b) f(x) 3/8 x=0.1 x1.0
f(x)
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
1.001
1.008
.
.
.
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
.
.
.
.
2.0
-
7. - ?
8. () ? ?
(b)
10
12
24
25
20
13
17
25
30
10
3
Easy2Siksha
GNDU -2023
( )
: : 75
: - ,
-
1. - ? ?
- , , -
1. -
-
, -
- :
a) : y = x^2 + 3x + 2 b) : y = 2^xc) : y =
log(x) d) : y = sin(x) e) 1 : y = x^3 -
2x^2 + 4
,
,
,
4
Easy2Siksha
2. -
- - '
-
:
a) : - ,
b) : - - ,
,
c) : -
d) : , ,
-
e) : - 3D
f) : -
g) :
-
h) :-
metabolized
3. -
- ( )
- , x
f(x) = 0, f(x) -
:
1: , x0
2: ' , f(x0).
3: ' , f'(x0).
4: : x1 = x0 - f(x0) /
f'(x0)
5: x1 ' 2-4 , x2, ,
'
5
Easy2Siksha
n : xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn)
' '
x-
4. -
, ' :
- f(x)
x-
x0 '
(x0, f(x0))
, ' f'(x0) ,
x0 '
: y - f(x0) = f'(x0)(x - x0)
x- ,
', y = 0,
:
0 - f(x0) = f'(x0)(x - x0) x = x0 - f(x0) / f'(x0)
5. -
a) : , -
, '
b) :
c) : - '
6.
, - :
a) :
,
'
b) : ,
c) : ' ,
d) : , ',
e) : ,
6
Easy2Siksha
7.
-
5
' : f(x) = x^2 - 5 = 0
: f'(x) = 2x
x0 = 2 (2^2 = 4 , 5 )
1: x1 = x0 - f(x0) / f'(x0) = 2 - (2^2 - 5) / (2*2) = 2 - (-1) / 4 = 2.25
2: x2 = 2.25 - (2.25^2 - 5) / (2*2.25) ≈ 2.2361111111
3: x3 ≈ 2.2360679775
,
5 10
! 2.2360679775 ,
8.
, - ,
'
:
a) b) -
:
python
def newton_raphson(f, f_prime, x0, tolerance=1e-6, max_iterations=100):
x = x0
i (max_iterations):
fx = f(x)
abs(fx) < :
dfx = f_prime(x)
dfx == 0:
#
x = x - fx / dfx
7
Easy2Siksha
#
sqrt(5) #
def f(x):
x**2 - 5
def f_prime(x):
2*x
= newton_raphson(f, f_prime, 2)
(f"sqrt(5) : {}")
- ,
9.
-
' ,
'
1671 "De analysi per aequationes numero terminorum infinitas"
, '
1690
, , 1740
, "-"
,- -
- -
' ,
'
-
' -
8
Easy2Siksha
2.
?
1. : - -
, -
, x f(x) = 0
'
, -
(
) ,
-
2.
:
a)
, a b , f(a) f(b)
a b -
b) ,
(a, f(a)) (b, f(b))
c) x- ,
.
d)
f(c) f(c) = 0 ,
,
a b c , ' f(c)
e)
'
c :
c = (a * f(b) - b * f(a)) / (f(b) - f(a))
3.
:
a) : ,
b) ' : ,
,
9
Easy2Siksha
c) : ,
d)
: - ( ) ,
,
e) :
, '
4.
, :
a) :
• :
• :
b) :
• :
• : ,
c) :
• : -,
• : ,
'
d) :
• :
• : ,
e) :
• : ' ,
• :
f) :
• :
• : ' -
10
Easy2Siksha
5.
,
:
x- y-
' x-
:
• '
• '
:
• (a, f(a)) (b, f(b))
• x- -
: - "" ,
' '
6.
: :
• ,
•
• ' -
:
• -
• -
: :
• .
• ,
•
:
• ,
• ,
11
Easy2Siksha
7.
- '
:
• :
o
o
o
• :
o - -
o ,
o .
o n
8.
, :
a) : ' :
•
•
( |f(x)| )
• ( | b - a | )
b) - : -
c) :
'
d) : (
)
9.
,
12
Easy2Siksha
, ,
'
10.
,
( ) '
,
-
, '
, , -
,
-
3. Guass Siedel
1. : -
,
(
) :
2x + 3y - z = 1 x - y + 2z = -2 3x + 2y + z = 4
x, y, z
2. -
-
'
:
1. ( )
13
Easy2Siksha
2. ,
3. ,
4.
5. 2-4
( '
)
:
' : 4x - y + z = 7 x + 5y + 2z = 13 x + y + 3z = 10
1: : x = (7 + y - z) / 4 y =
(13 - x - 2z) / 5 z = (10 - x - y) / 3
2: x = 0, y = 0, z = 0
3: : x = (7 + 0 - 0) / 4 = 1.75 y = (13 - 1.75 - 2(0)) / 5 = 2.25 z = (10 - 1.75 -
2.25) / 3 = 2
4: : x = (7 + 2.25 - 2) / 4 = 1.8125 y = (13 - 1.8125 - 2(2)) / 5 = 1.4375 z = (10
- 1.8125 - 1.4375) / 3 = 2.
3. -
a) : ,
-
b) : .
c) : , ' ' (
),
d) : -
4. -
a) : , ' '
,
b) :
14
Easy2Siksha
c) : ,
5. -
, -
,
(
)
:
1. ( , )
2.
3. .
:
4x - y + z = 7 x + 5y + 2z = 13 x + y + 3z = 10
1: : [4 -1 1 | 7] [1 5 2 | 13] [1 1 3 | 10]
2: ' 1s 0s :
[1 0 0 | 2] [0 1 0 | 3] [0 0 1 | 1]
3: : x = 2, y = 3, z = 1
6. -
a) :
b) :
c) :
d) : ,
7. -
a) : ,
b) :
c)
: ,
,
15
Easy2Siksha
8. - -
a) :
• -: ,
• -: , (
)
b) :
• -: , ( )
• -: '
c) :
• -: -,
• -:
d) :
• -: ,
• -: ,
e) :
• -: , -
• -: -
f) :
• -:
• -:
9.
- :
• ,
•
•
• '
16
Easy2Siksha
- :
•
•
• (
)
•
10.
- 19
, -
19
' -
:
• : ,
• : ,
• : , -
• : , 3D
• :
,
'
11.
- -
,
, ,
, '
-
, ,
, -
-
,
'
17
Easy2Siksha
, '
4. :
x-y+z=3
2x+yz-2
x+2y-2z=-1
: , :
1. x - y + z = 3
2. 2x + y - z = 2
3. x + 2y - 2z = -1
,
,
,
, ,
1:
,
:
[1 -1 1 | 3] [2 1 -1 | 2] [1 2 -2 | -1]
, x, y,
z
2:
,
( )
a) , x :
-2 :
[1 -1 1 | 3] [0 3 -3 | -4] [1 2 -2 | -1]
b) , x : :
18
Easy2Siksha
[1 -1 1 | 3] [0 3 -3 | -4] [0 3 -3 | -4]
c)
, :
1 -1/3 :
[1 -1 1 | 3] [0 1 -1 | -4/3] [0 3 -3 | -4]
d) , y :
:
[1 0 0 | 5/3] [0 1 -1 | -4/3] [0 3 -3 | -4]
e) , y :
3 :
[1 0 0 | 5/3] [0 1 -1 | -4/3] [0 0 0 | 0]
3:
,
,
[0 0 0 | 0]
0x + 0y + 0z = 0
, x, y, z
[0 0 0 | k], k - , 0
= k
,
, :
: x = 5/3 : y - z = -4/3
z y : z = y + 4/3
,
y ,
z x
:
x = 5/3 y = t ( t ) z = t + 4/3
:
19
Easy2Siksha
1. x - y + z = 3 5/3 - t + (t + 4/3) = 5/3 - t + t + 4/3 = 3
2. 2x + y - z = 2 2(5/3) + t - (t + 4/3) = 10/3 + t - t - 4/3 = 2
3. x + 2y - 2z = -1 5/3 + 2t - 2(t + 4/3) = 5/3 + 2t - 2t - 8/3 = -1
,
:
1.
2.
, -
3.
,
4. : x = 5/3, y = t, z = t + 4/3, t
x, y, z
y , x z
, -
(5/3, 0, 4/3)
t = 0,
t
,
, ,
- , :
1. :3D 2D '
2. :
3. :
4. :
, , -
' ,
20
Easy2Siksha
,
,
, ,
' ,
-
, ,
', ,
-
-
-
5.
30-40:
()
15-20
20-30
30-40
45-55
5-70
73
97
110
183
140
:, :
30-40.
(110 ),
Lagrange
,
, :
1. ? -
,
,
21
Easy2Siksha
2. Lagrange
? '
,
'
3. :
-
'
, ' :
1: x-,
y- :
x0 = 17.5 (15-20 ), y0 = 73 x1 = 25 (20-30 ), y1 = 97 x2 = 35 (30-40
), y2 = 110 (
) x3 = 50 (45-55
), y3 = 183 x4 = 62.5 (55-70 ), y4 = 140
2:Lagrange Lagrange :
L(x) = Σ(yi * Li(x))
j ≠ i Li(x) = Π(x - xj) / (xi - xj)
,
:
• L(x)
• yi - y- ( )
• Li(x)
• x
( , 35)
• xi xj - x- ( )
3: Lagrange L0(35), L1(35), L3(35), L4(35)
L2(35)
L0(35) = (35-25)(35-35)(35-50)(35-62.5) / (17.5-25)(17.5-35)(17.5-50)(17.5-62.5) L1(35) =
(35-17.5)(35-35)(35-50)(35-62.5) / (25-17.5)(25-35)(25-50)(25-62.5) L3(35) = (35- 17.5)(35-
25)(35-35)(35-62.5) / (50-17.5)(50-25)(50-35)(50-62.5) L4(35) = (35-17.5)(35 -25)(35-35)(35-
50) / (62.5-17.5)(62.5-25)(62.5-35)(62.5-50)
4:
:
L(35) = 73L0(35) + 97L1(35) + 183L3(35) + 140L4(35)
22
Easy2Siksha
5: ,
'
,
110
:
, 110
,
?
1. : 30-40
,
2. :
,
3. :
, ( 40-45)
:
1. : ' , ,
2. : ,
' ,
3. : , '
- :
1. : ,
2. :
3. :
4. :
, -
,
30-40,
,
-
23
Easy2Siksha
' , ,
,
,
, ' ,
- ,
'
'
6. () :
:
-
'
( , )
-
,
' (
)
:
• a b ,
• n - ( ),
24
Easy2Siksha
• a - ,
• x0,x1,x2,…,xn_ [a,b][a, b][a,b],
• f(xi) '
, 1, 4, 2
:
x=0 x=5
,
--
1: - (nnn)
, - n=6n =
6n=6 , [0,5][0, 5][0,5] 6 -
2: - (hhh)
- :
, - 0.8333
3: xix_ixi
x0,x1,x2,…,x6x_0, x_1, x_2, \dots, x_6x0,x1,x2,…,x6
:
'
f(x)
4: f(xi)
,
f(x)= '.
25
Easy2Siksha
5:
,
:
:
6 - ∫05dx1+x4\int_0^5
\frac{dx}{1 + x^4}∫051+x4dx 1.1275
:
1.
2. -
3.
4. ,
-
5. , 6 - 1.1275
26
Easy2Siksha
,
'
:
, , -
'
,
, ,
:
,
- - '
, -
, , 6 -
0 5 1.1275
(b) f(x) 3/8 x=0.1 x1.0
f(x)
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
1.001
1.008
.
.
.
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
.
.
.
.
2.0
: 3/8
, ' ' , xxx
(XXX ) f(x) (Y )
, x=0.1x =
3/8 0.1x=0.1 x=1.0x = 1.0x=1.0
27
Easy2Siksha
1: 3/8
3/8
1/3 ,
,
3/8 :
:
• a bbb ,
• x0,x1,x2,…,xn ,
• h , h=b−anh = \frac{b - a}{n}h=nb−a, nnn
( 3/8 , nnn 3 ),
• f(x0),f(x1),…,f(n) (YYY )
2: ' 3/8
:
xxx f(x) (Y ) :
x=0.1x x=1.0x f(x)
:
hhh xxx , :
h=0.1h
:
10 (x=0.1x = 0.1 ), 9 3/8
, 3 , 9 3
,
3: 3/8
28
Easy2Siksha
,
3/8
,
:
4: 3/8
:
1. hhh 0.1
2. 3/8
, :
:
• 1.0011.0011.001
• 3(1.008)=3.0243(1.008) = 3.0243(1.008)=3.024,
• 3(1.027)=3.0813(1.027) = 3.0813(1.027)=3.081,
• 2(1.064)=2.1282(1.064) = 2.1282(1.064)=2.128,
• 3(1.125)=3.3753(1.125) = 3.3753(1.125)=3.375,
• 3(1.216)=3.6483(1.216) = 3.6483(1.216)=3.648,
• 2(1.343)=2.6862(1.343) = 2.6862(1.343)=2.686,
• 3(1.512)=4.5363(1.512) = 4.5363(1.512)=4.536,
• 3(1.729)=5.1873(1.729) = 5.1873(1.729)=5.187,
• 2.02.02.0
29
Easy2Siksha
, :
5:
3/8 x=0.1 x=1.0x f(x)
1.150
,
3/8
,
3/8 :
1. 3
2. xxx ' f(x)f(x)f(x) ,
3.
' '
,
, 3/8
-
7. - ?
: :
:
30
Easy2Siksha
1. ( )
2.
3.
4.
5.
6.
, ' : ,
1. :
, ,
:
: = ( ) / ( )
:
a) : ,
b) : ,
,
c) :
d) : , ,
,
e) : -
,
:
a) (): The
' , '
b)
:- ,
31
Easy2Siksha
c)
:
d)
:
,
2. :
:
• :
• :
:
a)
: ,
b) : , (
)
c) :- ,
d) : - ,
e) :
,
:
a)
:
,
b) :
,
c) : ,
d) : ,
3. :
32
Easy2Siksha
:
:
a) ' : , ,
,
b)
: ,
c) : ()
d) : ,
e) : ,
-
:
a)
:
,
b)
: ,
, '
c) : ,
d) : ,
:
' :
1. :
o ,
o ,
o ,
2. :
o , , ,
33
Easy2Siksha
o ,
3. :
o ,
4. :
o ,
o ( ) ,
5. :
o ,
o ,
,
' '
,
,
:
• > , ' -
• < , ' -
• ≈ , '
, ,
,
- ,
,
( , , )
,
'
-
34
Easy2Siksha
,
()
8. () ? ?
(b)
10
12
24
25
20
13
17
25
30
10
s: (a) ? ?
'
,
- -1 +1 , :
• +1
• -1
• 0
:
1. : , ,
,
2. : , ,
,
3.
:
,
:
1. : ,
35
Easy2Siksha
2. : , , , ' -
3. :- ,
-
4. : , -
5. : ,
6. :
(b)
, -
, '
- (r) :
r = Σ((X - X
)(Y - Ȳ)) / √(Σ(X - X
)² * Σ(Y - Ȳ)²)
: X Y X
X Ȳ Σ
:
X: 10, 12, 24, 25, 20 Y: 13, 17, 25, 30, 10
1: (X Ȳ)
X
= (10 + 12 + 24 + 25 + 20) / 5 = 91 / 5 = 18.2 Ȳ = (13 + 17 + 25 + 30 + 10) / 5 = 95 / 5 = 19
2: (X - X) (Y - Ȳ)
X - X
: 10 - 18.2 = -8.2 12 - 18.2 = -6.2 24 - 18.2 = 5.8 25 - 18.2 = 6.8 20 - 18.2 = 1.8
Y - Ȳ: 13 - 19 = -6 17 - 19 = -2 25 - 19 = 6 30 - 19 = 11 10 - 19 = -9
3: (X - X)(Y - Ȳ), (X - X)², (Y - Ȳ)²
(X - X
)(Y - Ȳ): (-8.2)(-6) = 49.2 (-6.2)(-2) = 12.4 (5.8)(6) = 34.8 (6.8)(11) = 74.8 (1.8) (-9) = -16.2
(X - X
)²: (-8.2)² = 67.24 (-6.2)² = 38.44 (5.8)² = 33.64 (6.8)² = 46.24 (1.8)² = 3.24
(Y - Ȳ)²: (-6)² = 36 (-2)² = 4 (6)² = 36 (11)² = 121 (-9)² = 81
36
Easy2Siksha
4:
Σ((X - X
)(Y - Ȳ)) = 49.2 + 12.4 + 34.8 + 74.8 + (-16.2) = 155
Σ(X - X
)² = 67.24 + 38.44 + 33.64 + 46.24 + 3.24 = 188.8
Σ(Y - Ȳ)² = 36 + 4 + 36 + 121 + 81 = 278
5:
r = 155 / √(188.8 * 278) = 155 / √52486.4 = 155 / 229.1 = 0.677
, X Y 0.677
:
0.677 - X Y '
- X , Y , --
:
• 1
• 0.5
• 0.7
0.677 , .
X Y ,
, X Y -
,
:
1. X Y
2. X Y ,
3. X Y ,
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X Y , Y X
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X Y ,
37
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